Olimpiada Mexicana de Matemáticas 2020 Selectivo Final

Examen para definir a la Delegación Tlaxcala 2020.

Cada problema vale 7 puntos. Justifica tu solución.

Problema 1

Sea \( ABCD \) un cuadrilátero tal que \(\angle ABC=\angle ACD=90^\circ\), \(AC=20\) y \(CD=30\). Las diagonales \(AC\) y \(BD\) se cortan en \(E\). Si \(AE=5\), encuentra el área de \(ABCD\).

Problema 2

Sea \(n\) un entero positivo. Un divisor \(d\) de \(n\) se dice interesante si \(d+1\) también es un divisor de \(n\). Encuentra todos los enteros positivos \(n\) tales que exactamente la mitad de sus divisores positivos son interesantes.

Problema 3

Se tiene un tablero de \(n\times n\) con todos sus cuadritos de color blanco. Dos cuadritos son vecinos si comparten un lado. Un movimiento consiste en elegir un cuadrito del tablero y cambiar todos sus vecinos de blanco a negro, o de negro a blanco (el cuadrito que se elige no cambia de color, solo sus vecinos). Se quiere lograr, con algunos movimientos, que todos los cuadritos del tablero sean negros.

• Muestra una manera de hacer esto para \(n=8\)
• ¿Se podrá hacer esto para \(n=9\)?