Tres problemas de Geo

Una pequeña lista de problemas de Geometría creados por escritores de POLYNOMM.

16 de noviembre de 2020.

Geometría

Problema  1

Al interior de cada lado del triángulo \(ABC\) se trazan dos puntos que dividen al lado en tres segmentos de igual longitud. Sean \(P\) y \(Q\) los puntos marcados sobre el segmento \(BC\). A partir de los 6 puntos marcados, se divide el triángulo en 15 regiones como se muestra en la figura, donde a excepción de la región central (delimitada por los dos segmentos paralelos a \(BC\), \(PA\) y \(QA\)), las regiones se pintan de naranja o negro, de manera que no haya dos regiones que compartan un lado del mismo color. Sea \(A_1\) el área total de las regiones coloreadas de naranja y \(A_2\) el área total de las regiones coloreadas de negro.

Encuentre \(\frac{A_1}{A_2}\).

Problema  2

Sea \(A_0B_0C_0\) un triángulo equilátero de lado 1. Para cada entero \(k\ge0\), se definen \(A_{k+1}\), \(B_{k+1}\) y \(C_{k+1}\), que son puntos sobre \(A_kB_k\), \(B_kC_k\) y \(C_kA_k\), respectivamente, tales que:

y

Encuentre, en todos los casos:

• el área de \(A_nB_nC_n\) para todo entero no negativo \(n\).
• todos los enteros no negativos \(n\) para los cuales \(A_nB_nC_n\) tiene lados paralelos a los lados de \(A_0B_0C_0\).

Nota: El valor de \(\frac{A_iA_{i+1}}{A_{i+1}B_i}\), que puede ser \(\frac{1}{2}\) o \(2\), no es necesariamente igual al valor de \(\frac{A_jA_{j+1}}{A_{j+1}B_j}\) para enteros no negativos distintos \(i,j\) .

Problema  3

Dos circunferencias de radio positivo con centros \(O_1\) y \(O_2\) son tangentes a una recta \(\ell\) en dos puntos distintos \(P\) y \(Q\), respectivamente, y son tangentes entre sí en el punto \(R\). Si se cumple que:

Encuentra la medida del ángulo \(\angle PQR\) en cada caso.