Ecuaciones

Esperamos que esta lista de problemas de ecuaciones sea muy divertida.

Álgebra

Teoría de números

También puedes intentar el Problema 5 de la ORO 2020

Encuentra todos los pares de enteros positivos \((a,b)\) tales que \(a^2+b\) excede a \(b^2+a\) por 36.

\(181^2\) puede escribirse como la diferencia de los cubos de dos enteros positivos consecutivos. Encuentra la suma de dichos enteros.

Si \( y+4 = (x-2)^2 \), \(x+4 = (y-2)^2\) y \( x\ne y \), encuentra el valor de \( x^2+y^2\).

Encuentra el valor de \( a_{}^{}x^5 + b_{}y^5\), si los números reales \( a \), \( b \), \( x \), y \( y\) satisfacen las siguientes ecuaciones:

\[\begin{align*} ax + by&=3\\ ax^2 + by^2&=7\\ ax^3 + by^3&=16\\ ax^4 + by^4&=42 \end{align*}\]

Determina todas las soluciones reales \( x \), \( y \) y \( z \) del siguiente sistema de ecuaciones:

\[\begin{cases} x^3 - 3x = 4 - y \\ 2y^3 - 6y = 6 - z \\ 3z^3 - 9z = 8 - x\end{cases}\]

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones en los números reales

\[\begin{cases} x^2+2=x(y+z)\\ y^2+3=y(z+x)\\ z^2+4=z(x+y) \end{cases}\]

Encuentra todas las 4-tuplas \( (a,b,c,d) \) de números reales que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones:

\[\begin{cases} (b+c+d)^{2010}=3a\\ (a+c+d)^{2010}=3b\\ (a+b+d)^{2010}=3c\\ (a+b+c)^{2010}=3d \end{cases}\]