Selectivo final OMMEB 2020
¡Éxito a todos los participantes!
Especial
Recuerda seguir las indicaciones del Aviso del 22 de Agosto, y enviar tus problemas de la manera correspondiente.
¡Por fin! Esta es la primera publicación de POLYNOMM
Problemas de Nivel 1
Problema 1
Sean \( p \) y \( q \) números primos distintos entre si.¿Cuántos divisores positivos tiene \( p^2\cdot q^2 \)?
a. 2 b. 4 c. 8 d. 7 e. 9
Problema 2
Un tonel esta lleno \( \frac{1}{4} \) de lo que no esta lleno ¿Qué fracción del tonel queda vacío, si se vacía \( \frac{1}{3} \) de lo que no se vacía?
a. \( \frac{11}{20} \) b. \( \frac{3}{4} \) c. \( \frac{17}{20} \) d. \( \frac{3}{5} \) e. \( \frac{1}{20} \)
Problema 3
¿Cuál es la suma de los números comprendidos entre 10 y 30 solo tienen dos divisores?
a. 8 b. 100 c. 112 d. 121 e. 211
Problema 4
¿Cuántos rectángulos hay en esta figura?
a. 8 b. 9 c. 10 d. 11 e. 12
Problema 5
Un ocho son dos círculos del mismo tamaño y tangentes entre sí. ¿Cuántos ochos hay en este dibujo?
a. 25 b. 28 c. 30 d. 50 e. 60
Problema 6
La secuencia de Fibonacci está definida por \(F_1=F_2=1 \) y \( F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\).
¿Cuál es el residuo que se obtiene al dividir
entre 5?
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4
Problema 7
En el lado \( BC \) de un triángulo \( ABC \) se ubica el punto \( P \) de manera que \( AC + CP = PB \). Sea R el punto medio de \( AB \). Si \( \angle RPB = 43^\circ \), encuentra la medida del ángulo \( \angle ACB \).
a. \( 43^\circ\) b. \( 90^\circ-43^\circ\) c. \( 30^\circ+43^\circ\) d. \( 2\cdot 43^\circ\) e. \( 45^\circ+43^\circ\)
Problema 8
Las soluciones de la ecuación \( x^2-63x+k=0 \) son números primos. El número de posibles valores de \( k \) es
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 o más
Problema 9
Un piso rectangular es cubierto totalmente con mosaicos cuadrados de igual tamaño, sin recortar o traslapar ningún mosaico y sin que éstos rebasen el borde del piso. Los mosaicos en el borde son rojos, y los demás son blancos. Si hay igual cantidad de mosaicos rojos y blancos, ¿cuántos mosaicos se necesitan para cubrir el piso?
a. 45 o 56 b. 48 o 56 c. 48 o 60 d. 56 o 60 e. 60 o 72
Problema 10
Diez personas se encuentran en una fila.
La primera persona en la fila, se mueve al final y la siguiente persona se sienta, de manera que la tercera persona en la fila, ahora es la primera de la fila que está de pie.
Ahora, esta persona se va al final del fila y la siguiente se sienta.
Este proceso se repite hasta que solo una persona permanece de pie. ¿Cuál era la posición original de esta última persona?
a. 1 b. 5 c. 9 d. 7 e. 10
Problema 11
Considera un tablero de 3\( \times \)3, donde todas las casillas inicialmente tienen un cero.
Para alterar los números del tablero, solo se permite la siguiente operación: escoger un subtablero de 2\( \times \)2 formado por casillas adyacentes, y sumar 1 a todos los números del subtablero. ¿Cuál de los siguientes tableros se puede obtener?
a. \(\begin{array}{cc} 5&6&1\\ 9&16&8\\ 4&8&5 \end{array}\) b. \(\begin{array}{cc} 5&6&1\\ 9&15&6\\ 4&9&5 \end{array}\)
c. \(\begin{array}{cc} 6&11&5\\ 4&10&7\\ 5&1&2 \end{array}\) d. \(\begin{array}{cc} 6&12&5\\ 11&8&7\\ 5&2&2 \end{array}\)
Problema 12
Alexis tiene 2020 fichas, numeradas del 1 al 2020. Debe distribuirlas en tres cajas, de modo que en ninguna caja queden dos fichas numeradas con números consecutivos. ¿De cuántas formas se puede hacer esto?
a. \( 3^{1010}\cdot 2^{1010} \)
b. \( 3\cdot 2^{2019} \)
c. \( 2020!-\binom{2020}{2} \)
d. \( 3\cdot2019!-\binom{2019}{2} \)
e. \( 2^{2020}-\binom{2020}{2} \)
Problema 13
Cinco números no negativos \( a \), \( b \), \( c \), \( d \) y \( n \) satisfacen las ecuaciones
\[a+b+c+d=100\]y
\[a+n=b-n=c\cdot n= \frac{d}{n}\]¿Cuántas tuplas \( (a,b,c,d,n) \) satisfacen las condiciones anteriores?
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 o más
Problema 14
Sea \( n \) el entero positivo más pequeño que es múltiplo de 75 y tiene exactamente 75 divisores (incluyendo 1 y \( n \)). Encuentra la suma de todos los cuadrados perfectos que dividen a \( n \)
a. 48696 b. 48966 c. 49668 d. 49686 e. 49866
Problema 15
¿Cuántos números primos \( x \) existen tales que \( 2^x + x^2 \) es un número primo?
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 o más
Problemas de Nivel 2
Parte A
Problema 1
La secuencia de Fibonacci está definida por \(F_1=F_2=1 \) y \( F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\).
¿Cuál es el residuo que se obtiene al dividir
entre 5?
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4
Problema 2
Roberto para el estreno de su película quiere saber cuántas personas cabrán en el auditorio. Él sabe, que no caben más de 1000 personas. Si intercambia los dígitos de las centenas con las decenas o de las unidades, el número es múltiplo de 11. Y si intercambia el dígito de las unidades con las decenas el número es múltiplo de 2. ¿Cuántas posibilidades hay de cupo en el auditorio?
a. 9 b. 18 c. 27 d. 36 e. 45
Problema 3
Las soluciones de la ecuación \( x^2-63x+k=0 \) son números primos. El número de posibles valores de \( k \) es
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 o más
Problema 4
Un piso rectangular es cubierto totalmente con mosaicos cuadrados de igual tamaño, sin recortar o traslapar ningún mosaico y sin que éstos rebasen el borde del piso. Los mosaicos en el borde son rojos, y los demás son blancos. Si hay igual cantidad de mosaicos rojos y blancos, ¿cuántos mosaicos se necesitan para cubrir el piso?
a. 45 o 56 b. 48 o 56 c. 48 o 60 d. 56 o 60 e. 60 o 72
Problema 5
Un ocho son dos círculos del mismo tamaño y tangentes entre sí. ¿Cuántos ochos hay en este dibujo?
a. 25 b. 28 c. 30 d. 50 e. 60
Problema 6
Considera un tablero de 3\( \times \)3, donde todas las casillas inicialmente tienen un cero.
Para alterar los números del tablero, solo se permite la siguiente operación: escoger un subtablero de 2\( \times \)2 formado por casillas adyacentes, y sumar 1 a todos los números del subtablero. ¿Cuál de los siguientes tableros se puede obtener?
a. \(\begin{array}{cc} 5&6&1\\ 9&16&8\\ 4&8&5 \end{array}\) b. \(\begin{array}{cc} 5&6&1\\ 9&15&6\\ 4&9&5 \end{array}\)
c. \(\begin{array}{cc} 6&11&5\\ 4&10&7\\ 5&1&2 \end{array}\) d. \(\begin{array}{cc} 6&12&5\\ 11&8&7\\ 5&2&2 \end{array}\)
Problema 7
Cinco números no negativos \( a \), \( b \), \( c \), \( d \) y \( n \) satisfacen las ecuaciones
\[a+b+c+d=100\]y
\[a+n=b-n=c\cdot n= \frac{d}{n}\]¿Cuántas tuplas \( (a,b,c,d,n) \) satisfacen las condiciones anteriores?
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 o más
Problema 8
En el lado \( BC \) de un triángulo \( ABC \) se ubica el punto \( P \) de manera que \( AC + CP = PB \). Sea R el punto medio de \( AB \). Si \( \angle RPB = 43^\circ \), encuentra la medida del ángulo \( \angle ACB \).
a. \( 43^\circ\) b. \( 90^\circ-43^\circ\) c. \( 30^\circ+43^\circ\) d. \( 2\cdot 43^\circ\) e. \( 45^\circ+43^\circ\)
Problema 9
Diez personas se encuentran en una fila.
La primera persona en la fila, se mueve al final y la siguiente persona se sienta, de manera que la tercera persona en la fila, ahora es la primera de la fila que está de pie.
Ahora, esta persona se va al final del fila y la siguiente se sienta.
Este proceso se repite hasta que solo una persona permanece de pie. ¿Cuál era la posición original de esta última persona?
a. 1 b. 5 c. 9 d. 7 e. 10
Problema 10
¿Cuál es el residuo que se obtiene cuando
es dividido por 100?
a. 10 b. 20 c. 30 d. 40 d. Ninguna de las anteriores.
Problema 11
Sea \( n \) el entero positivo más pequeño que es múltiplo de 75 y tiene exactamente 75 divisores (incluyendo 1 y \( n \)). Encuentra la suma de todos los cuadrados perfectos que dividen a \( n \)
a. 48696 b. 48966 c. 49668 d. 49686 e. 49866
Problema 12
¿Cuántos números primos \( x \) existen tales que \( 2^x + x^2 \) es un número primo?
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 o más
Parte B
Problema 1
Sobre los lados \( AB \) y \( BC \) del cuadrado \( ABCD \) se encuentran los puntos \( E \) y \( F \), respectivamente, de manera que \( BE=BF \). Sea \( P \) el pie de la altura del triángulo \( BCE \) por \( B \). Demuestra que \( \angle FPD=90^\circ \).
Problema 2
Sean \( a \) y \( b \) dos enteros tales que \( a>b>0 \). Si \( ab-1 \) y \( a+b \) son primos relativos, y también \( ab+1 \) y \( a-b \), demuestra que
\[(ab+1)^2+(a-b)^2\]no es un cuadrado perfecto.
Problema 3
Encuentra las soluciones reales de la ecuación:
Problemas de Nivel 3
Parte A
Problema 1
Las soluciones de la ecuación \( x^2-63x+k=0 \) son números primos. El número de posibles valores de \( k \) es
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 o más
Problema 2
Un piso rectangular es cubierto totalmente con mosaicos cuadrados de igual tamaño, sin recortar o traslapar ningún mosaico y sin que éstos rebasen el borde del piso. Los mosaicos en el borde son rojos, y los demás son blancos. Si hay igual cantidad de mosaicos rojos y blancos, ¿cuántos mosaicos se necesitan para cubrir el piso?
a. 45 o 56 b. 48 o 56 c. 48 o 60 d. 56 o 60 e. 60 o 72
Problema 3
Un ocho son dos círculos del mismo tamaño y tangentes entre sí. ¿Cuántos ochos hay en este dibujo?
a. 25 b. 28 c. 30 d. 50 e. 60
Problema 4
Considera un tablero de 3\( \times \)3, donde todas las casillas inicialmente tienen un cero.
Para alterar los números del tablero, solo se permite la siguiente operación: escoger un subtablero de 2\( \times \)2 formado por casillas adyacentes, y sumar 1 a todos los números del subtablero. ¿Cuál de los siguientes tableros se puede obtener?
a. \(\begin{array}{cc} 5&6&1\\ 9&16&8\\ 4&8&5 \end{array}\) b. \(\begin{array}{cc} 5&6&1\\ 9&15&6\\ 4&9&5 \end{array}\)
c. \(\begin{array}{cc} 6&11&5\\ 4&10&7\\ 5&1&2 \end{array}\) d. \(\begin{array}{cc} 6&12&5\\ 11&8&7\\ 5&2&2 \end{array}\)
Problema 5
Cinco números no negativos \( a \), \( b \), \( c \), \( d \) y \( n \) satisfacen las ecuaciones
\[a+b+c+d=100\]y
\[a+n=b-n=c\cdot n= \frac{d}{n}\]¿Cuántas tuplas \( (a,b,c,d,n) \) satisfacen las condiciones anteriores?
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 o más
Problema 6
En el lado \( BC \) de un triángulo \( ABC \) se ubica el punto \( P \) de manera que \( AC + CP = PB \). Sea R el punto medio de \( AB \). Si \( \angle RPB = 43^\circ \), encuentra la medida del ángulo \( \angle ACB \).
a. \( 43^\circ\) b. \( 90^\circ-43^\circ\) c. \( 30^\circ+43^\circ\) d. \( 2\cdot 43^\circ\) e. \( 45^\circ+43^\circ\)
Problema 7
Diez personas se encuentran en una fila.
La primera persona en la fila, se mueve al final y la siguiente persona se sienta, de manera que la tercera persona en la fila, ahora es la primera de la fila que está de pie.
Ahora, esta persona se va al final del fila y la siguiente se sienta.
Este proceso se repite hasta que solo una persona permanece de pie. ¿Cuál era la posición original de esta última persona?
a. 1 b. 5 c. 9 d. 7 e. 10
Problema 8
Encuentra la suma de todos los valores positivos de \( n \) tales que:
a. 28 b. 29 c. 30 d. 31 e. Ninguna de las anteriores.
Problema 9
¿Cuál es el residuo que se obtiene cuando
es dividido por 100?
a. 10 b. 20 c. 30 d. 40 e. Ninguna de las anteriores.
Problema 10
Sea \( n \) el entero positivo más pequeño que es múltiplo de 75 y tiene exactamente 75 divisores (incluyendo 1 y \( n \)). Encuentra la suma de todos los cuadrados perfectos que dividen a \( n \)
a. 48696 b. 48966 c. 49668 d. 49686 e. 49866
Problema 11
Encuentra la suma
a. \( \sqrt[3]{2020}-\sqrt[3]{2019} \) b. \( \sqrt[3]{2019}-1 \) c. \( \sqrt[3]{2019}+1 \) d. \( \sqrt[3]{2020}-1 \) e. \( \sqrt[3]{2020}+1 \)
Problema 12
¿Cuántos números primos \( x \) existen tales que \( 2^x + x^2 \) es un número primo?
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 o más
Parte B
Problema 1
Encuentra las soluciones reales de la ecuación:
Problema 2
Sean \( a \) y \( b \) dos enteros tales que \( a>b>0 \). Si \( ab-1 \) y \( a+b \) son primos relativos, y también \( ab+1 \) y \( a-b \), demuestra que
\[(ab+1)^2+(a-b)^2\]no es un cuadrado perfecto.
Problema 3
Considera todas las ternas \( (x,y,p) \) de enteros positivos donde \( p \) es un número primo, tales que:
\[4x^2+8y^2+(2x-3y)p-12xy=0\]Demuestra que \( 4y+1 \) es un cuadrado perfecto para cada terna \( (x,y,p) \).