Selectivo final OMMEB 2020

¡Éxito a todos los participantes!

Especial

Selectivo final OMMEB 2020
Problemas de Nivel 1
Problemas de Nivel 2
1. Parte A
2. Parte B
Problemas de Nivel 3
1. Parte A
2. Parte B

Recuerda seguir las indicaciones del Aviso del 22 de Agosto, y enviar tus problemas de la manera correspondiente.

¡Por fin! Esta es la primera publicación de POLYNOMM

Problemas de Nivel 1

Problema 1

Sean $p$ y $q$ números primos distintos entre si.¿Cuántos divisores positivos tiene $p^{2} \cdot q^{2}$ ?

a. 2 b. 4 c. 8 d. 7 e. 9

Problema 2

Un tonel esta lleno $\frac{1}{4}$ de lo que no esta lleno ¿Qué fracción del tonel queda vacío, si se vacía $\frac{1}{3}$ de lo que no se vacía?

a. $\frac{11}{20}$ b. $\frac{3}{4}$ c. $\frac{17}{20}$ d. $\frac{3}{5}$ e. $\frac{1}{20}$

Problema 3

¿Cuál es la suma de los números comprendidos entre 10 y 30 solo tienen dos divisores?

a. 8 b. 100 c. 112 d. 121 e. 211

Problema 4

¿Cuántos rectángulos hay en esta figura?

a. 8 b. 9 c. 10 d. 11 e. 12

Problema 5

Un ocho son dos círculos del mismo tamaño y tangentes entre sí. ¿Cuántos ochos hay en este dibujo?

a. 25 b. 28 c. 30 d. 50 e. 60

Problema 6

La secuencia de Fibonacci está definida por $F_{1} = F_{2} = 1$ y $F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}$ .

¿Cuál es el residuo que se obtiene al dividir

F_{2020} + F_{2019} + . . . + F_{2} + F_{1}

entre 5?

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4

Problema 7

En el lado $B C$ de un triángulo $A B C$ se ubica el punto $P$ de manera que $A C + C P = P B$ . Sea R el punto medio de $A B$ . Si $∠ R P B = 43^{\circ}$ , encuentra la medida del ángulo $∠ A C B$ .

a. $43^{\circ}$ b. $90^{\circ} - 43^{\circ}$ c. $30^{\circ} + 43^{\circ}$ d. $2 \cdot 43^{\circ}$ e. $45^{\circ} + 43^{\circ}$

Problema 8

Las soluciones de la ecuación $x^{2} - 63 x + k = 0$ son números primos. El número de posibles valores de $k$ es

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 o más

Problema 9

Un piso rectangular es cubierto totalmente con mosaicos cuadrados de igual tamaño, sin recortar o traslapar ningún mosaico y sin que éstos rebasen el borde del piso. Los mosaicos en el borde son rojos, y los demás son blancos. Si hay igual cantidad de mosaicos rojos y blancos, ¿cuántos mosaicos se necesitan para cubrir el piso?

a. 45 o 56 b. 48 o 56 c. 48 o 60 d. 56 o 60 e. 60 o 72

Problema 10

Diez personas se encuentran en una fila.

La primera persona en la fila, se mueve al final y la siguiente persona se sienta, de manera que la tercera persona en la fila, ahora es la primera de la fila que está de pie.

Ahora, esta persona se va al final del fila y la siguiente se sienta.

Este proceso se repite hasta que solo una persona permanece de pie. ¿Cuál era la posición original de esta última persona?

a. 1 b. 5 c. 9 d. 7 e. 10

Problema 11

Considera un tablero de 3 $\times$ 3, donde todas las casillas inicialmente tienen un cero.

\begin{array}{cc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}

Para alterar los números del tablero, solo se permite la siguiente operación: escoger un subtablero de 2 $\times$ 2 formado por casillas adyacentes, y sumar 1 a todos los números del subtablero. ¿Cuál de los siguientes tableros se puede obtener?

a. $\begin{array}{cc} 5 & 6 & 1 \\ 9 & 16 & 8 \\ 4 & 8 & 5 \end{array}$ b. $\begin{array}{cc} 5 & 6 & 1 \\ 9 & 15 & 6 \\ 4 & 9 & 5 \end{array}$

c. $\begin{array}{cc} 6 & 11 & 5 \\ 4 & 10 & 7 \\ 5 & 1 & 2 \end{array}$ d. $\begin{array}{cc} 6 & 12 & 5 \\ 11 & 8 & 7 \\ 5 & 2 & 2 \end{array}$

Problema 12

Alexis tiene 2020 fichas, numeradas del 1 al 2020. Debe distribuirlas en tres cajas, de modo que en ninguna caja queden dos fichas numeradas con números consecutivos. ¿De cuántas formas se puede hacer esto?

a. $3^{1010} \cdot 2^{1010}$

b. $3 \cdot 2^{2019}$

c. $2020! - (\binom{2020}{2})$

d. $3 \cdot 2019! - (\binom{2019}{2})$

e. $2^{2020} - (\binom{2020}{2})$

Problema 13

Cinco números no negativos $a$ , $b$ , $c$ , $d$ y $n$ satisfacen las ecuaciones

a + b + c + d = 100

a + n = b - n = c \cdot n = \frac{d}{n}

¿Cuántas tuplas $(a, b, c, d, n)$ satisfacen las condiciones anteriores?

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 o más

Problema 14

Sea $n$ el entero positivo más pequeño que es múltiplo de 75 y tiene exactamente 75 divisores (incluyendo 1 y $n$ ). Encuentra la suma de todos los cuadrados perfectos que dividen a $n$

a. 48696 b. 48966 c. 49668 d. 49686 e. 49866

Problema 15

¿Cuántos números primos $x$ existen tales que $2^{x} + x^{2}$ es un número primo?

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 o más

Problemas de Nivel 2

Parte A

Problema 1

La secuencia de Fibonacci está definida por $F_{1} = F_{2} = 1$ y $F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}$ .

¿Cuál es el residuo que se obtiene al dividir

F_{2020} + F_{2019} + . . . + F_{2} + F_{1}

entre 5?

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4

Problema 2

Roberto para el estreno de su película quiere saber cuántas personas cabrán en el auditorio. Él sabe, que no caben más de 1000 personas. Si intercambia los dígitos de las centenas con las decenas o de las unidades, el número es múltiplo de 11. Y si intercambia el dígito de las unidades con las decenas el número es múltiplo de 2. ¿Cuántas posibilidades hay de cupo en el auditorio?

a. 9 b. 18 c. 27 d. 36 e. 45

Problema 3

Las soluciones de la ecuación $x^{2} - 63 x + k = 0$ son números primos. El número de posibles valores de $k$ es

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 o más

Problema 4

a. 45 o 56 b. 48 o 56 c. 48 o 60 d. 56 o 60 e. 60 o 72

Problema 5

Un ocho son dos círculos del mismo tamaño y tangentes entre sí. ¿Cuántos ochos hay en este dibujo?

a. 25 b. 28 c. 30 d. 50 e. 60

Problema 6

Considera un tablero de 3 $\times$ 3, donde todas las casillas inicialmente tienen un cero.

\begin{array}{cc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}

a. $\begin{array}{cc} 5 & 6 & 1 \\ 9 & 16 & 8 \\ 4 & 8 & 5 \end{array}$ b. $\begin{array}{cc} 5 & 6 & 1 \\ 9 & 15 & 6 \\ 4 & 9 & 5 \end{array}$

c. $\begin{array}{cc} 6 & 11 & 5 \\ 4 & 10 & 7 \\ 5 & 1 & 2 \end{array}$ d. $\begin{array}{cc} 6 & 12 & 5 \\ 11 & 8 & 7 \\ 5 & 2 & 2 \end{array}$

Problema 7

Cinco números no negativos $a$ , $b$ , $c$ , $d$ y $n$ satisfacen las ecuaciones

a + b + c + d = 100

a + n = b - n = c \cdot n = \frac{d}{n}

¿Cuántas tuplas $(a, b, c, d, n)$ satisfacen las condiciones anteriores?

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 o más

Problema 8

a. $43^{\circ}$ b. $90^{\circ} - 43^{\circ}$ c. $30^{\circ} + 43^{\circ}$ d. $2 \cdot 43^{\circ}$ e. $45^{\circ} + 43^{\circ}$

Problema 9

Diez personas se encuentran en una fila.

La primera persona en la fila, se mueve al final y la siguiente persona se sienta, de manera que la tercera persona en la fila, ahora es la primera de la fila que está de pie.

Ahora, esta persona se va al final del fila y la siguiente se sienta.

Este proceso se repite hasta que solo una persona permanece de pie. ¿Cuál era la posición original de esta última persona?

a. 1 b. 5 c. 9 d. 7 e. 10

Problema 10

¿Cuál es el residuo que se obtiene cuando

{(\binom{15}{0})}^{2} + {(\binom{15}{1})}^{2} + \dots + {(\binom{15}{15})}^{2}

es dividido por 100?

a. 10 b. 20 c. 30 d. 40 d. Ninguna de las anteriores.

Problema 11

Sea $n$ el entero positivo más pequeño que es múltiplo de 75 y tiene exactamente 75 divisores (incluyendo 1 y $n$ ). Encuentra la suma de todos los cuadrados perfectos que dividen a $n$

a. 48696 b. 48966 c. 49668 d. 49686 e. 49866

Problema 12

¿Cuántos números primos $x$ existen tales que $2^{x} + x^{2}$ es un número primo?

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 o más

Parte B

Problema 1

Sobre los lados $A B$ y $B C$ del cuadrado $A B C D$ se encuentran los puntos $E$ y $F$ , respectivamente, de manera que $B E = B F$ . Sea $P$ el pie de la altura del triángulo $B C E$ por $B$ . Demuestra que $∠ F P D = 90^{\circ}$ .

Problema 2

Sean $a$ y $b$ dos enteros tales que $a > b > 0$ . Si $a b - 1$ y $a + b$ son primos relativos, y también $a b + 1$ y $a - b$ , demuestra que

(a b + 1)^{2} + (a - b)^{2}

no es un cuadrado perfecto.

Problema 3

Encuentra las soluciones reales de la ecuación:

(x + 2010)^{4} + (x + 2030)^{4} = 22408

Problemas de Nivel 3

Parte A

Problema 1

Las soluciones de la ecuación $x^{2} - 63 x + k = 0$ son números primos. El número de posibles valores de $k$ es

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 o más

Problema 2

a. 45 o 56 b. 48 o 56 c. 48 o 60 d. 56 o 60 e. 60 o 72

Problema 3

Un ocho son dos círculos del mismo tamaño y tangentes entre sí. ¿Cuántos ochos hay en este dibujo?

a. 25 b. 28 c. 30 d. 50 e. 60

Problema 4

Considera un tablero de 3 $\times$ 3, donde todas las casillas inicialmente tienen un cero.

\begin{array}{cc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}

a. $\begin{array}{cc} 5 & 6 & 1 \\ 9 & 16 & 8 \\ 4 & 8 & 5 \end{array}$ b. $\begin{array}{cc} 5 & 6 & 1 \\ 9 & 15 & 6 \\ 4 & 9 & 5 \end{array}$

c. $\begin{array}{cc} 6 & 11 & 5 \\ 4 & 10 & 7 \\ 5 & 1 & 2 \end{array}$ d. $\begin{array}{cc} 6 & 12 & 5 \\ 11 & 8 & 7 \\ 5 & 2 & 2 \end{array}$

Problema 5

Cinco números no negativos $a$ , $b$ , $c$ , $d$ y $n$ satisfacen las ecuaciones

a + b + c + d = 100

a + n = b - n = c \cdot n = \frac{d}{n}

¿Cuántas tuplas $(a, b, c, d, n)$ satisfacen las condiciones anteriores?

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 o más

Problema 6

a. $43^{\circ}$ b. $90^{\circ} - 43^{\circ}$ c. $30^{\circ} + 43^{\circ}$ d. $2 \cdot 43^{\circ}$ e. $45^{\circ} + 43^{\circ}$

Problema 7

Diez personas se encuentran en una fila.

La primera persona en la fila, se mueve al final y la siguiente persona se sienta, de manera que la tercera persona en la fila, ahora es la primera de la fila que está de pie.

Ahora, esta persona se va al final del fila y la siguiente se sienta.

Este proceso se repite hasta que solo una persona permanece de pie. ¿Cuál era la posición original de esta última persona?

a. 1 b. 5 c. 9 d. 7 e. 10

Problema 8

Encuentra la suma de todos los valores positivos de $n$ tales que:

n^{2} + 2 | n^{6} + 206

a. 28 b. 29 c. 30 d. 31 e. Ninguna de las anteriores.

Problema 9

¿Cuál es el residuo que se obtiene cuando

{(\binom{15}{0})}^{2} + {(\binom{15}{1})}^{2} + \dots + {(\binom{15}{15})}^{2}

es dividido por 100?

a. 10 b. 20 c. 30 d. 40 e. Ninguna de las anteriores.

Problema 10

Sea $n$ el entero positivo más pequeño que es múltiplo de 75 y tiene exactamente 75 divisores (incluyendo 1 y $n$ ). Encuentra la suma de todos los cuadrados perfectos que dividen a $n$

a. 48696 b. 48966 c. 49668 d. 49686 e. 49866

Problema 11

Encuentra la suma

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}} \\ + \frac{1}{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}} \\ + \frac{1}{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{12} + \sqrt[3]{16}} \\ ⋮ \\ + \frac{1}{\sqrt[3]{2019^{2}} + \sqrt[3]{2019 (2020)} + \sqrt[3]{2020^{2}}} \end{matrix}

a. $\sqrt[3]{2020} - \sqrt[3]{2019}$ b. $\sqrt[3]{2019} - 1$ c. $\sqrt[3]{2019} + 1$ d. $\sqrt[3]{2020} - 1$ e. $\sqrt[3]{2020} + 1$

Problema 12

¿Cuántos números primos $x$ existen tales que $2^{x} + x^{2}$ es un número primo?

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 o más

Parte B

Problema 1

Encuentra las soluciones reales de la ecuación:

(x + 2010)^{4} + (x + 2030)^{4} = 22408

Problema 2

Sean $a$ y $b$ dos enteros tales que $a > b > 0$ . Si $a b - 1$ y $a + b$ son primos relativos, y también $a b + 1$ y $a - b$ , demuestra que

(a b + 1)^{2} + (a - b)^{2}

no es un cuadrado perfecto.

Problema 3

Considera todas las ternas $(x, y, p)$ de enteros positivos donde $p$ es un número primo, tales que:

4 x^{2} + 8 y^{2} + (2 x - 3 y) p - 12 x y = 0

Demuestra que $4 y + 1$ es un cuadrado perfecto para cada terna $(x, y, p)$ .