Olimpiada Mexicana de Matemáticas 2019

Delegación Tlaxcala, concurso estatal.

Nivel 3

Parte B

Problema 1

Mauro coloca los números del 1 al 10 en los vértices de un decágono. Después, coloca en cada arista la suma de los dos números en sus extremos. De los 10 números en las aristas, llama al mayor de ellos \( A \), y al menor de ellos \( B\).

a. ¿Podrá Mauro acomodar los números de tal manera que \( A-B= 2\)?

b ¿Podrá Mauro acomodar los números de tal manera que \( A-B=1 \)?

Problema 2

Sea \( ABCD \) un rectángulo tal que \( AB = CD = 5\) y \( BC = AD = 10\). Sean \( W \), \( X \), \( Y\) y \( Z \) puntos en los lados \( AB \), \( BC \), \( CD \) y \( DA \), respectivamente, de tal manera que \( \angle ZWX =90^\circ \), \( WX = WZ = \sqrt{13}\) y \( XY = ZY \). Calcula el valor de \( XY \).

Problema 3

Considera una cuadrícula de \( n \times n \) en la que sus cuadritos están pintados de uno de \( n \) colores de la siguiente manera:

La diagonal principal (de izquierda superior a derecha inferior) se pinta de un color. Las diagonales adyacentes a ésta se pintan de un segundo color. Las siguientes diagonales se pintan, de un tercer color y así seguidamente.

Se quieren colocar \( n \) monedas en la cuadrícula de tal manera que no haya dos monedas en la misma fila o columna, y que todas las monedas estén en cuadritos de distinto color.

a. ¿Será posible hacer esto para \( n = 8 \)?

b. ¿Será posible hacer esto para \( n = 7 \)?