Olimpiada Regional Zona Centro 2020

Virtual.

Primer día

23 de octubre de 2020.

Problema 1

Se tiene un tablero con forma de triángulo equilatero de lado \(n\) dividido en celdas triangulares con forma de triángulos equilateros de lado 1 (en la figura de abajo se muestra el tablero cuando \(n=4\)). Todas y cada una de las celdas triangulares se colorean ya sea de rojo o de azul. ¿Cuál es la menor cantidad de celdas que pueden colorearse de azul sin que haya dos celdas rojas que comparten un lado?

Problema 2

Sean \(a\), \(b\) y \(c\) números reales positivos, muestra que

\[\frac{2a^2 b^2}{a^5+b^5}+\frac{2b^2 c^2}{b^5+c^5}+\frac{2c^2 a^2}{c^5+a^5}\le\frac{a+b}{2ab}+\frac{b+c}{2bc}+\frac{c+a}{2ca}\]

Problema 3

En un triángulo acutángulo \(ABC\), un punto arbitrario \(P\) se escoge en la altura \(AH\). Los puntos \(E\) y \(F\) son los puntos medios de \(AC\) y \(AB\), respectivamente. Las perpendiculares desde \(E\) a \(CP\) y desde \(F\) a \(BP\) se unen en el punto \(K\). Demuestra que \(KB = KC\).

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Segundo día

24 de octubre de 2020.

Problema 4

Sean \(\Gamma_1\) una circunferencia con centro \(O\) y \(A\) un punto sobre ella. Considere la circunferencia \(\Gamma_2\) con centro en \(A\) y radio \(AO\). Sean \(P\) y \(Q\) los puntos de intersección de \(\Gamma_1\) y \(\Gamma_2\). Considere la circunferencia \(\Gamma_3\) con centro en \(P\) y radio \(PQ\). Sea \(C\) el segundo punto de intersección de \(\Gamma_3\) y \(\Gamma_1\). La recta \(OP\) corta a \(\Gamma_3\) en \(R\) y \(S\), con \(R\) fuera de \(\Gamma_1\). \(RC\) corta a \(\Gamma_1\) en \(B\). \(CS\) corta a \(\Gamma_1\) en \(D\). Demuestra que \(ABCD\) es un cuadrado.

Problema 5

Determina todas las parejas \((m, n)\) de números enteros positivos tales que tanto \(m^2+5n\) como \(n^2+5m\) son cuadrados perfectos.

Problema 6

Sean \(n\) y \(k\) enteros, tales que \(n \ge\) \(k \ge\) \(3\). Se consideran \(n+1\) puntos en el plano tales que no hay tres de ellos sobre la misma recta. A cada segmento que une dos de esos puntos se le asigna un color de entre \(k\) colores dados. Se dice que un ángulo es bicolor si tiene por vértice uno de los \(n+1\) puntos y, por lados, dos de los segmentos anteriores que son de distinto color. Demuestra que existe una coloración tal que el número de ángulos bicolores es estrictamente mayor que:

\[n\times\binom{k}{2}\times\left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor^2\]