Olimpiada Regional Zona Centro 2020

Virtual.

Primer día

23 de octubre de 2020.

Problema 1

Se tiene un tablero con forma de triángulo equilatero de lado $n$ dividido en celdas triangulares con forma de triángulos equilateros de lado 1 (en la figura de abajo se muestra el tablero cuando $n = 4$ ). Todas y cada una de las celdas triangulares se colorean ya sea de rojo o de azul. ¿Cuál es la menor cantidad de celdas que pueden colorearse de azul sin que haya dos celdas rojas que comparten un lado?

Problema 2

Sean $a$ , $b$ y $c$ números reales positivos, muestra que

\frac{2 a^{2} b^{2}}{a^{5} + b^{5}} + \frac{2 b^{2} c^{2}}{b^{5} + c^{5}} + \frac{2 c^{2} a^{2}}{c^{5} + a^{5}} \leq \frac{a + b}{2 a b} + \frac{b + c}{2 b c} + \frac{c + a}{2 c a}

Problema 3

En un triángulo acutángulo $A B C$ , un punto arbitrario $P$ se escoge en la altura $A H$ . Los puntos $E$ y $F$ son los puntos medios de $A C$ y $A B$ , respectivamente. Las perpendiculares desde $E$ a $C P$ y desde $F$ a $B P$ se unen en el punto $K$ . Demuestra que $K B = K C$ .

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Segundo día

24 de octubre de 2020.

Problema 4

Sean $Γ_{1}$ una circunferencia con centro $O$ y $A$ un punto sobre ella. Considere la circunferencia $Γ_{2}$ con centro en $A$ y radio $A O$ . Sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección de $Γ_{1}$ y $Γ_{2}$ . Considere la circunferencia $Γ_{3}$ con centro en $P$ y radio $P Q$ . Sea $C$ el segundo punto de intersección de $Γ_{3}$ y $Γ_{1}$ . La recta $O P$ corta a $Γ_{3}$ en $R$ y $S$ , con $R$ fuera de $Γ_{1}$ . $R C$ corta a $Γ_{1}$ en $B$ . $C S$ corta a $Γ_{1}$ en $D$ . Demuestra que $A B C D$ es un cuadrado.

Problema 5

Determina todas las parejas $(m, n)$ de números enteros positivos tales que tanto $m^{2} + 5 n$ como $n^{2} + 5 m$ son cuadrados perfectos.

Problema 6

Sean $n$ y $k$ enteros, tales que $n \geq$ $k \geq$ $3$ . Se consideran $n + 1$ puntos en el plano tales que no hay tres de ellos sobre la misma recta. A cada segmento que une dos de esos puntos se le asigna un color de entre $k$ colores dados. Se dice que un ángulo es bicolor si tiene por vértice uno de los $n + 1$ puntos y, por lados, dos de los segmentos anteriores que son de distinto color. Demuestra que existe una coloración tal que el número de ángulos bicolores es estrictamente mayor que:

n \times (\binom{k}{2}) \times {⌊ \frac{n}{k} ⌋}^{2}