Olimpiada Regional Zona Centro 2019

Acapulco, Guerrero.

Primer día

4 de octubre de 2019.

Problema 1

Sean \(a\), \(b\) y \(c\) enteros mayores que cero. Muestra que los números

\[\begin{align*} 2a^2+b^2+3\\ 2b^2+c^2+3\\ 2c^2+a^2+3 \end{align*}\]

no pueden ser cuadrados perfectos.

Problema 2

Encuentra todas las funciones \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) tales que

\[\begin{align*} f(x+y)\le f(xy) \end{align*}\]

para toda pareja de reales \(x\), \(y\).

Problema 3

Sean \(ABC\) un triángulo acutángulo y \(D\) un punto en el lado \(BC\) tal que \(\angle BAD=\angle DAC\). Los circuncírculos de los triángulos \(ABD\) y \(ACD\) intersectan a los segmentos \(AC\) y \(AB\) en \(E\) y \(F\), respectivamente. Las bisectrices internas de \(\angle BDF\) y \(\angle CDE\) intersectan a los lados \(AB\) y \(AC\) en \(P\) y \(Q\), respectivamente. Se eligen puntos \(X\) y \(Y\) en el lado \(BC\) tales que \(PX\) es paralela a \(AC\) y \(QY\) es paralela a \(AB\). Finalmente, sea \(Z\) el punto de intersección de \(BE\) y \(CF\). Muestre que \(ZX=ZY\).

Olimpiada Regional Zona Centro 2019

Acapulco, Guerrero.

Segundo día

5 de octubre de 2019.

Problema 4

Sean \(ABC\) un triángulo con \(\angle BAC>90^\circ\) y \(D\) un punto sobre \(BC\). Sean \(E\) y \(F\) las reflexiones del punto \(D\) sobre \(AB\) y \(AC\), respectivamente. Supongamos que \(BE\) y \(CF\) se intersecan en \(P\). Demuestra que \(AP\) pasa por el circuncentro del triángulo \(ABC\).

Problema 5

Decimos que una sucesión de enteros positivos \(a_1,a_2,\) \(\ldots,a_n\) es auto-acotada si para cada \(i\) con \(1\le i\le n\) existen al menos \(a_i\) términos de la sucesión menores o iguales que \(i\). Determina el máximo valor posible de la suma \(a_1+a_2+\) \(\ldots+a_n\), donde \(a_1,a_2,\) \(\ldots,a_n\) es una sucesión auto-acotada.

Problema 6

Determina todos los enteros positivos \(m\) con la siguiente propiedad: Si \(d\) es un entero positivo menor o igual que \(m\) que no es primo relativo con \(m\), entonces existen enteros positivos \(a_1,a_2,\) \(\ldots,a_{2019}\), todos primos relativos con \(m\), que satisfacen que

\[m+a_1d+a_2d^2+\ldots+a_{2019}d^{2019}\]

es una potencia perfecta.