Olimpiada Regional Zona Centro 2018

Pachuca, Hidalgo.

Primer día

21 de septiembre de 2018.

Problema 1

Sean \(M\) y \(N\) dos números enteros positivos capicúas de cinco dígitos, tales que \(M< N\) y no hay otro número capicúa entre ellos. Determina los posibles valores de \(N-M\).

Nota: Un número entero positivo es capicúa si se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. Por ejemplo, un número capicúa de seis dígitos es 123321.

Problema 2

Sea \(\triangle ABC\) un triángulo y sea \(\Gamma\) su circunferencia circunscrita. Sea \(M\) el punto medio del lado \(BC\) y sea \(D\) el punto de intersección de la línea \(AM\) con \(\Gamma\). Por \(D\) se traza una línea recta paralela a \(BC\), la cual intersecta a \(\Gamma\) en un punto \(E\). Sea \(N\) el punto medio del segmento \(AE\) y sea \(P\) el punto de intersección de \(CN\) con \(AM\). Demuestra que \(AP=PC\).

Problema 3

Considera \(n\) rectas en el plano en posición general, es decir, no hay tres de las \(n\) rectas que pasen por un mismo punto. Determina si es posible etiquetar los \(k\) puntos en los que éstas rectas se insersecan con los números del \(1\) al \(k\) (usando exactamente una vez cada número), de modo que en cada recta, las etiquetas de los \(n-1\) puntos de esa recta se encuentran ordenadas en orden creciente (en alguna de las dos direcciones en las que se pueden recorrer).

Olimpiada Regional Zona Centro 2018

Pachuca, Hidalgo.

Segundo día

22 de septiembre de 2018.

Problema 4

Ana y Natalia juegan alternadamente en un tablero de \(n\times n\) (Ana tira primero y \(n>1\)). Al comienzo, se coloca la ficha de Ana en la esquina superior izquierda y la de Natalia en la esquina inferior derecha. Un turno consiste en mover la ficha correspondiente en cualquiera de las cuatro direcciones (no se permite moverse en diagonal), sin salirse del tablero. Gana quien logre colocar su ficha sobre la ficha de la oponente. Determina si alguna de las dos puede asegurar la victoria tras un número finito de turnos.

Problema 5

Encuentra todas las soluciones de la ecuación

con \(p\), \(q\) y \(r\) números primos positivos y \(k\) un entero positivo.

Problema 6

Sean \(\triangle ABC\) un triángulo con ortocentro \(H\) y alturas \(AD\), \(BE\) y \(CF\). Sean \(D^\prime\), \(E^\prime\) y \(F^\prime\) las intersecciones de las alturas \(AD\), \(BE\) y \(CF\), respectivamente, con el circuncírculo de \(\triangle ABC\), de manera que sean puntos diferentes a los vértices de triángulo \(\triangle ABC\). Sean \(L\), \(M\) y \(N\) los puntos medios de \(BC\), \(AC\) y \(AB\), respectivamente. Sean \(P\), \(Q\) y \(R\) las intersecciones del circuncírculo con \(LH\), \(MH\) y \(NH\), respectivamente, de tal manera que \(P\) y \(A\) están en lados opuestos de \(BC\), \(Q\) y \(A\) están en lados opuestos de \(AC\) y \(R\) y \(C\) están en lados opuestos de \(AB\). Demuestra que existe un triángulo cuyos lados tienen las longitudes de los segmentos \(D^\prime P\), \(E^\prime Q\) y \(F^\prime R\).