Olimpiada Regional Zona Centro 2016

Tlaxcala de Xicohténcatl, Tlaxcala.

Primer día

30 de septiembre de 2016.

Problema 1

La cuadrícula que se muestra a continuación, se termina de llenar eligiendo nueve de los siguientes números sin repetir: 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13, 16, 18, 19. Si la suma de las cinco filas son iguales entre sí y la suma de las tres columnas son iguales entre sí, ¿de cuántas formas distintas es posible llenar la cuadrícula?

Nota: La suma de las filas y la suma de las columnas no necesariamente son iguales.

Problema 2

Se tienen siete montones con 2014 piedritas cada uno y un montón con 2008 piedritas. Ana y Beto juegan alternadamente y Ana siempre juega primero. Una jugada consiste en quitar piedritas a todos los montones. A cada montón se le quita una cantidad diferente de piedritas, entre 1 y 8 piedritas. Pierde el primer jugador que no pueda realizar una jugada.

a. ¿Quién tiene estrategia ganadora?

b. Si fueran siete montones con 2015 piedritas cada uno y un montón con 2008 piedritas, ¿quién tiene estrategia ganadora?

Problema 3

Sea \(ABC\) un triángulo con ortocentro \(H\) y \(l\) una recta que pasa por \(H\), y es paralela a \(BC\). Sean \(m\) y \(n\) las reflexiones de \(l\) sobre los lados de \(AB\) y \(AC\), respectivamente, \(m\) y \(n\) se intersectan en \(P\). Si \(HP\) y \(BC\) se intersectan en \(Q\), demuestra que la paralela a \(AH\) por \(Q\) y \(AP\) se cortan en el circuncentro del triángulo \(ABC\).

Nota 1: La reflexión de un punto \(A\) sobre una recta \(l\) es un punto \(A^\prime\) tal que \(AA^\prime\) es perpendicular a \(l\), y \(AP=A^\prime P\), donde \(P\) es la intersección de \(AA^\prime\) y \(l\).

Nota 2: La reflexión de una recta \(m\) sobre una recta \(l\) es el conjunto formado por las reflexiones de los puntos de \(m\) sobre \(l\).

Olimpiada Regional Zona Centro 2016

Tlaxcala de Xicohténcatl, Tlaxcala.

Segundo día

1 de octubre de 2016.

Problema 4

Sea \(A\) uno de los dos puntos en los que se intersectan las circunferencias cuyos centros son los puntos \(M\) y \(N\). Las tangentes en \(A\) a tales circunferencias, las cortan nuevamente en \(B\) y \(C\), respectivamente. Sea \(P\) un punto tal que el cuadrilátero \(AMPN\) es un paralelogramo. Demuestra que \(P\) es el circuncentro del triángulo \(ABC\).

Nota: El circuncentro de un triángulo es el centro de circunferencia que pasa por los tres vértices del mismo triángulo.

Problema 5

Una progresión aritmética es una secuencia de \((a_1,a_2,\dots,a_n)\) tal que la diferencia entre cualesquiera dos términos consecutivos es la misma. Es decir, \(a_{i+1}-a_i=d\) para todo \(i\in \{1,2,\dots,n-1\}\), siendo \(d\) la diferencia de la progresión.

Una secuencia \((a_1,a_2,\dots,a_n)\) es tlaxcalteca si para todo \(i\in\{1,2,\dots,n-1\}\), existe \(m_i\) entero positivo tal que \(a_i=\frac{1}{m_i}\).

Una progresión aritmética tlaxcalteca \((a_1,a_2,\dots,a_n)\) se dice maximal si \((a_1-d,a_1,a_2,\dots,a_n)\) y \((a_1,a_2,\dots,a_n,a_n+d)\) no son progresiones aritméticas tlaxcaltecas.

¿Existe una progresión aritmética tlaxcalteca maximal de 11 elementos?

Problema 6

En Tlaxcala, hay un sistema de transporte que funciona a través de autobuses que viajan de una ciudad a otra en una sola dirección. Un conjunto \(S\) de ciudades se dice bello si contiene al menos tres ciudades diferentes y de cada ciudad \(A\) en \(S\) salen al menos dos autobuses, cada uno va directamente a una ciudad diferente en \(S\) y ninguna de ellas es \(A\) (si existe autobús directo de \(A\) a una ciudad \(B\) en \(S\), no necesariamente existe autobús directo de \(B\) a \(A\)). Demuestra que si existe un conjunto bello de ciudades \(S\), entonces existe un subconjunto bello \(T\) de \(S\), tal que para cualesquiera dos ciudades en \(T\), se puede llegar de una a otra tomando autobuses que solo pasan por ciudades de \(T\).

Nota: Un autobús va directo de una ciudad a otra si no pasa por ninguna otra ciudad.