Olimpiada Regional Zona Centro 2015

Cholula, Puebla.

Primer día

25 de septiembre de 2015.

Problema 1

Los primeros 360 números naturales se separan en 9 bloques de tal manera que los números en cada bloque son consecutivos. Luego, se suman los números de cada bloque, obteniendo 9 números. ¿Es posible llenar una cuadrícula de 3\(\times\)3 y formar un cuadrado mágico con estos números?

Nota: En un cuadrado mágico, la suma de los números escritos en cualquier columna, diagonal o fila de la cuadrícula es la misma.

Problema 2

En el triángulo \(ABC\), se tiene que \(\angle BAC\) es agudo. Sea \(\Gamma\) la circunferencia que pasa por \(A\) y es tangente al lado \(BC\) en \(C\). Sea \(M\) el punto medio de \(BC\) y sea \(D\) el otro punto de interseción de \(\Gamma\) con \(AM\). Si \(BD\) corta nuevamente a \(\Gamma\) en \(E\), desmuestra que \(AC\) es la bisectriz de \(\angle BAE\).

Problema 3

Un tablero de tamaño 2015\(\times\)2015 se cubre con subtableros de tamaño 2\(\times\)2, cada uno de los cuales está pintado como los del ajederez. Cada subtlero cubre, exactamente, 4 casillas del tablero y cada casilla del tablero está cubierta con al menos una casilla de un subtablero (el pintado de los subtableros puede ser de cualquier forma).

Prueba que existe una manera de cubrir el tablero de tal forma que haya exactamente 2015 casilles negras visibles. ¿Cuál es el máximo número de casillas negras visibles?

Olimpiada Regional Zona Centro 2015

Cholula, Puebla.

Segundo día

26 de septiembre de 2015.

Problema 4

Sean \(m\) y \(n\) números naturales. Determina todos los valores de \(m\) y \(n\) para los que \(m\), \(m+2\), \(m+2^n\) y \(m+2^n+2\) son números primos.

Problema 5

En el triángulo \(ABC\), se tiene que \(M\) y \(N\) son puntos en \(AB\) y \(AC\), respectivamente, tales que \(BC\) es paralela a \(MN\). Se elige un punto \(D\) en el interior del triángulo \(AMN\). Sean \(E\) y \(F\) los puntos de intersección de \(MN\) con \(BD\) y \(CD\), respectivamente. Demuestra que la recta que une los centros de las circunferencias circunscritas a los triángulos \(DEN\) y \(DFM\) es perpendicular a \(AD\).

Problema 6

Se tienen 3 circunferencias tales que cualesquiera 2 de ellas son tangentes exteriormente. Sea \(a\) longitud de la tangente exterior común a un par de ellas. Las longitudes \(b\) y \(c\) se definen de manera semejante. Si \(T\) es la suma de las áreas de tales circunferencias, demuestra que \(\pi(a+b+c)^2\le 12T\).

Nota: En el caso de circunferencias tangentes exteriormente, la tangente exterior común es el segmento tangente a ellas que las toca en puntos diferentes.