Olimpiada Regional Zona Centro 2014

Cuernavaca, Morelos.

Primer día

26 de septiembre de 2014.

Problema 1

Encuentra el menor entero postivo \(n\) que cumple que para cualesquiera \(n\) enteros distintos, el producto de todas las diferencias positivas de estos numeros es divisible entre 2014.

Problema 2

Sean \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \(y_1\), \(y_2\), y \(y_3\) números reales positivos, tales que \(x_1+y_2=\) \(x_2+y_3=\) \(x_3+y_1=\) \(1\). Muestra que

\[x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3<1\]

Problema 3

Sean \(ABC\) un triángulo y \(\Gamma\) la circunferencia excrita, relativa al vértice \(A\), con centro \(D\). La circunferencia \(\Gamma\) es tangente a las rectas \(AB\) y \(AC\) en \(E\) y \(F\), respectivamente. Sean \(P\) y \(Q\) las intersecciones de \(EF\) con \(BD\) y \(CD\), respectivamente. Si \(O\) es el punto de intersección de \(BQ\) y \(CP\), muestra que la distancia de \(O\) a la recta \(BC\) es igual al radio de la circunferencia inscrita en el triángulo \(ABC\).

Nota: La distancia de un punto \(P\) a una recta \(l\), donde \(P\) no pertenece a la recta, es la medida del segmento \(AP\), donde \(A\) es el pie de la perpendicular a la recta \(l\) trazada a partir de \(P\).

Olimpiada Regional Zona Centro 2014

Cuernavaca, Morelos.

Segundo día

27 de septiembre de 2014.

Problema 4

Sea \(ABCD\) un cuadrado y sea \(M\) el punto medio de \(BC\). Sea \(C^\prime\) la reflexión de \(C\) con respecto a \(DM\). La paralela a \(AB\) que pasa por \(C^\prime\) corta a \(AD\) en \(R\) y a \(BC\) en \(S\). Muestra que \(\frac{RC^\prime}{C^\prime S}=\frac{3}{2}\).

Nota: La reflexión de un punto \(P\) respecto a una recta \(l\) es el unico punto \(P^\prime\) sobre la recta perpendicular a \(l\) que pasa por \(P\), de tal forma que la recta \(l\) es mediatriz del segmento \(PP^\prime\).

Problema 5

Encuentra todas las parejas \((p,q)\) de números primos positivos tales que

\[p^5+p^3+2=q^2-q\]

Problema 6

La escuela OMM ofrece \(n\) talleres para sus \(n\) alumnos. Se sabe que no hay dos alumnos que tomen exactamente los mismos talleres. Muestra que existe un taller tal que si este se cierra, se sigue cumpliendo que no hay dos alumnos que asistan exactamente a los mismos talleres.