Olimpiada Regional Zona Centro 2012

Toluca, Estado de México.

Primer día

5 de octubre de 2012.

Problema 1

Consideremos el conjunto

\[A=\{1,2,\dots,100\}\]

Probar que siempre que se toman 11 elementos distintos de \(A\), hay dos de ellos \(x\), \(y\), tales que \(x\ne y\) y \(0<\) \(\left|\sqrt{x}-\sqrt{y}\right|)\) \(<1\).

Problema 2

Muestre que si \(n\) y \(m\) son enteros que cumplen

\[(n-1)^3+n^3+(n+1)^3=m^3\]

Entonces 4 divide a \(n\).

Problema 3

En el paralelogramo \(ABCD\), se tiene que el ángulo \(BAD\) mide \(60^\circ\). Sea \(E\) el punto de intersección de las diagonales. La circunferencia circunscrita al triángulo \(ACD\) corta a la recta \(AB\) en el punto \(K\) (diferente de \(A\)), a la recta \(BD\) en el punto \(P\) (diferente de \(D\)), y a la recta \(BC\) en \(L\) (diferente de \(C\)). La recta \(EP\) intersecta a la circunferencia circunscrita del triángulo \(CEL\) en los puntos \(E\) y \(M\). Demostrar que los triángulos \(KLM\) y \(CAP\) son congruentes.

Olimpiada Regional Zona Centro 2012

Toluca, Estado de México.

Segundo día

6 de octubre de 2012.

Problema 4

Sea \(ABC\) un triángulo acutángulo, \(AD\) su altura (\(D\) sobre \(BC\)), y \(BE\) bisectriz interna (\(E\) sobre \(CA\)). Muestre que la medida del ángulo \(CDE\) es mayor a \(45^\circ\).

Problema 5

Considera \(p\) un primo impar. Para cada \(i\) en \(\{1,2,\dots,p-1\}\), sea \(r_i\) el residuo de \(i^p\) al dividirlo por \(p^2\). Calcula la suma

\[r_1+r_2+\dots+r_{p-1}\]

Problema 6

Considera un tablero de \(2n\times 2n\) coloreado de blanco y negro como tablero de ajedrez (la esquina superior izquierda de negro). Una tirada consiste en elegir un subtablero de 2\(\times\)2 y cambiar los colores de sus cuatro casillas. Determina para cuales \(n\) es posible obtener, después de un número finito de tiradas, un tablero de un solo color.