Olimpiada Regional Zona Centro 2011

Cuernavaca, Morelos.

Primer día

21 de octubre de 2011.

Problema 1

Ocho personas están sentadas en una mesa circular, se sabe que cualesquiera tres personas consecutivas en la mesa tienen un número impar de monedas (entre las tres personas), demostrar que cada una de las personas tiene al menos una moneda.

Problema 2

Sea $ABC$ un triángulo y sean $L$, $M$, $N$ los puntos medios de los lados $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente. Los puntos $P$ y $Q$ están sobre $AB$ y $BC$, respectivamente; los puntos $R$ y $S$ son tales que $N$ es punto medio de $PR$ y $L$ es punto medio de $QS$. Demostrar que si $PS$ y $QR$ son perpendiculares, entonces su intersección está en el circuncírculo del triángulo $LMN$.

Problema 3

Se tienen $n$ enteros positivos mayores que 1 y menores que 10000 tales que ninguno de ellos es primo pero cualesquiera dos de ellos son primos relativos. Encontrar el máximo valor de $n$.

Olimpiada Regional Zona Centro 2011

Cuernavaca, Morelos.

Segundo día

22 de octubre de 2011.

Problema 4

Demostrar que si un número de $6n$ dígitos es divisible entre 7, entonces el número que resulta de mover el dígito de las unidades al principio del número también es múltiplo de 7.

Problema 5

Se tienen 100 piedras en un montón. Una partición del montón en $k$ montoncitos se llama especial si cumple que el número de piedras en cada montoncito es diferente y además para cualquier partición de cualquiera de los montoncitos en dos nuevos montoncitos resulta que entre los $k+1$ montoncitos hay dos que tienen el mismo número de piedras (cada montoncito contiene al menos una piedra).

a. Encontrar el máximo número $k$, tal que existe una partición especial de las 100 piedras en $k$ montoncitos.

b. Encontrar el mínimo número $k$, tal que existe una partición especial de las 100 piedras en $k$ montoncitos.

Problema 6

Dada una circunferencia $C$ y un diámetro $AB$ en ella, se marca un punto $P$ sobre $AB$ diferente de los extremos. En uno de los dos arcos determinados por $AB$ se elijen los puntos $M$ y $N$ tales que $\mathrm{\angle }APM$ $={60}^{\circ }$ $=\mathrm{\angle }BPN$. Se trazan los segmentos $MP$ y $NP$ para obtener así tres triángulos curvilíneos; $APM$, $MPN$ y $NPB$ (los lados el triángulo curvilíneo $APM$ son los segmentos $AP$ y $PM$ y el arco $AM$). En cada triángulo curvilíneo se inscribe una circunferencia, es decir, se construye una circunferencia tangente a los tres lados. Demostrar que la suma de los radios de las tres circunferencias inscritas es menor o igual que el radio de $C$.