Olimpiada Regional Zona Centro 2010

Pachuca, Hidalgo.

Primer día

2 de octubre de 2010.

Problema 1

En el trángulo acutángulo \(ABC\) se tiene que \(\angle BAC\) es menor que \(\angle ACB\). Sea \(AD\) un diámetro de \(C\), la circunferencia circunscrita a dicho triángulo. Sea \(E\) el punto de intersección del rayo \(AC\) y la tangente a \(C\) que pasa por \(B\). La perpendicular a \(AD\) que pasa por \(E\) intersecta a la circunferencia circunscrita al triángulo \(BCE\), otra vez, en el punto \(F\). Muestre que \(CD\) es bisectriz de \(BCF\).

Problema 2

Sea \(p>5\) un número primo. Muestra que \(p−4\) no puede ser la cuarta potencia de un número primo.

Problema 3

Sean \(a, b, c\) reales positivos que cumplen

\[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\]

Muestra que

\[a^2+b^2+c^2\ge 2a+2b+2c+9\]

Olimpiada Regional Zona Centro 2010

Pachuca, Hidalgo.

Segundo día

3 de octubre de 2010.

Problema 4

Sean \(a\) y \(b\) dos números enteros positivos y \(A\) un subconjunto de \(\{1, 2, …, a + b\}\) que tenga más de \(\frac{a+b}{2}\) elementos. Muestra que hay dos números en \(A\) cuya diferencia es \(a\) o \(b\).

Problema 5

Encuentra todas las soluciones enteras \((p, q, r)\) de la ecuación \(r+p^4=q^4\) con las siguientes condiciones:

1. \(r\) es un entero positivo con exactamente 8 divisores positivos.
2. \(p\) y \(q\) son números primos.

Problema 6

Sean \(ABC\) un triángulo equilátero y \(D\) el punto medio de \(BC\). Sean \(E\) y \(F\) puntos sobre \(AC\) y \(AB\), respectivamente y tales que \(AF=CE\). Si \(P\) es el punto de intersección de \(BE\) y \(CF\), muestra que \(\angle APF=\angle BPD\).