Olimpiada Regional Zona Centro 2009

Primer día

Problema 1

Sea \(\Gamma\) una circunferencia de centro \(O\) y sean \(A\), \(A^\prime\) dos puntos diametralmente opuestos en \(\Gamma\). Sea \(P\) el punto medio de \(OA^\prime\) y \(l\) una recta que pasa por \(P\), distinta a la recta \(AA^\prime\) y distinta a la recta perpendicular a \(AA^\prime\). Sean \(B\) y \(C\) los puntos de intersección de \(l\) con \(\Gamma\), sea \(H\) el pie de la altura desde \(A\) sobre \(BC\), sea \(M\) el punto medio de \(BC\), y sea \(D\) la intersección de la recta \(A^\prime M\) con \(AH\). Muestra que el ángulo \(\angle ADO = 90^\circ\).

Problema 2

Sean \(p \ge 2\) un número primo y \(a\ge 1\) un entero positivo distinto de \(p\). Encuentra todas las parejas \((a, p)\) tales que \(a + p\) divide a \(a^2+p^2\).

Problema 3

Un triángulo equilátero \(ABC\) tiene lados de longitud \(N\), un entero positivo. Divide el triángulo en triángulos equiláteros de longitud 1, dibujando líneas paralelas (a distancia 1) a todos los lados del triángulo. Un camino es una trayectoria continua, empezando en el triángulo con vértice \(A\) y siempre cruzando de un triangulito a otro por el lado que comparten ambos triangulitos, de tal manera que nunca pasa por un triangulito dos veces. Encuentra el máximo número de triangulitos que pueden ser visitados.

Olimpiada Regional Zona Centro 2009

Segundo día

Problema 4

Sea \(N = 2\:\:\underbrace{99…9}_{n\text{ veces}}\:\:82\:\:\underbrace{00…0}_{n\text{ veces}}\:\:29\). Muestra que \(N\) se puede escribir como la suma de los cuadrados de 3 números naturales consecutivos.

Problema 5

Sea \(ABC\) un trángulo y sea \(D\) el pie de la altura desde \(A\). Sean \(E\) y \(F\) puntos sobre una recta que pasa por \(D\) de tal manera que \(AE\) es perpendicular a \(BE\), \(AF\) es perpendicular a \(CF\), donde \(E\) y \(F\) son puntos distintos al punto \(D\). Sean \(M\) y \(N\) los puntos medios de \(BC\) y \(EF\), respectivamente. Muestra que \(AN\) es perpendicular a \(NM\).

Problema 6

Para cada subconjunto \(A\) de \(\{1,2,\dots,n\}\), sea \(M_A\) la diferencia entre el mayor de los elementos de \(A\) y el menor de los elementos de \(A\). Encuentra la suma de todos los valores de \(M_A\) cuando se consideran todos los posibles subconjuntos \(A\) de \(\{1,2,\dots,n\}\).