Olimpiada Regional Zona Centro 2008

Primer día

26 de septiembre de 2008.

Problema 1

Encuentra todas las parejas de enteros \(a,b\) que cumplen

\[a^2-3a=b^3-2\]

Problema 2

Sea \(ABC\) un triángulo con incentro \(I\), la recta \(AI\) corta a \(BC\) en \(L\) y al circuncírculo de \(ABC\) en \(L^\prime\). Muestra que los triángulos \(BLI\) y \(L^\prime IB\) son semejantes sí y sólo sí \(AC = AB + BL\).

Problema 3

Considera una cuadrícula de \(n\times n\) dividida en \(n^2\) cuadritos de \(1\times 1\). Cada uno de los \((n + 1)^2\) vértices de la cuadrícula se colorea de rojo o de azul. Encuentra el número de coloraciones tal que cada cuadrito unitario tiene dos vértices rojos y dos azules.

Olimpiada Regional Zona Centro 2008

Segundo día

27 de septiembre de 2008.

Problema 4

Sean \(n\) puntos, donde no hay 3 de ellos sobre una recta, y considere los segmentos que se forman al conectar cualesquiera 2 de los puntos. Se dispone de suficientes colores para pintar los puntos y los segmentos, coloreándolos con las siguientes dos reglas:

a) Todos los segmentos que llegan a un mismo punto se pintan de colores diferentes.

b) Cada punto se pinta de un color diferente a todos los segmentos que llegan a él.

Encuentra el mínimo número de colores que se necesita para hacer una coloración así.

Problema 5

A cada número entero positivo \(n \ge 1\) se le asigna el número \(p_n\) que es el producto de todos sus dígitos distintos de cero. Por ejemplo, \(p_6 = 6\), \(p_{32} = 6\), \(p_{203} = 6\). Sea \(S = p_1+p_2+p_3+\dots+p_{999}\). Encuentra el primo más grande que divide a \(S\).

Problema 6

En el cuadrilátero \(ABCD\), se tiene que \(AB=AD\) y \(\angle B=\angle D=90^\circ\). Los puntos \(P\) y \(Q\) se encuentran sobre \(BC\) y \(CD\), respectivamente, de manera que \(AQ\) es perpendicular a \(DP\). Prueba que \(AP\) es perpendicular a \(BQ\).