Olimpiada Regional Zona Centro 2007

Primer día

Problema 1

Un condenado quedará en libertad cuando alcance el final de una escalera de 100 escalones. Pero no puede avanzar a su antojo, puesto que está obligado a subir un sólo escalón cada día de los meses impares y bajar un escalón cada día de los meses pares. Si comienza el 1 de enero de 2001, ¿qué día quedará en libertad?.

Problema 2

Considere el triángulo \(ABC\) con circuncentro \(O\). Sea \(D\) la intersección de la perpendicular del ángulo en \(A\) con \(BC\). Demuestra que \(OA\), la mediatriz de \(AD\) y la perpendicular a \(BC\) que pasa por \(D\) son concurrentes.

Problema 3

Sean 2004 fichas bicolores blancas por una cara y negras por la otra, colocadas formando una circunferencia. Un movimiento consiste en elegir una ficha negra y darle la vuelta a tres fichas: la elegida, la de su izquierda y la de su derecha. Si al inicio hay una sola ficha negra, ¿será posible, repitiendo el movimiento descrito, conseguir que todas las fichas tengan la cara blanca hacia arriba?.

Olimpiada Regional Zona Centro 2007

Segundo día

Problema 4

¿Existe alguna potencia de 2 que al escribirla en el sistema decimal tenga todos sus dígitos distintos de cero y sea posible reordenar los mismos para formar con ellos otra potencia de 2?

Problema 5

Considera un triángulo \(ABC\) con \(\angle ACB=2\angle CAB\) y \(\angle ABC > 90^\circ\). Consideremos la perpendicular a \(AC\) que pasa por \(A\) e intersecta a \(BC\) en \(D\), demuestra que

\[\frac{1}{BC}-\frac{1}{DC}=\frac{2}{CA}\]

Problema 6

Ciertos boletos están numerados de la siguiente manera: \(1, 2, 3, \dots , N\). Exactamente la mitad de los boletos tienen el dígito 1 en ellos. Si \(N\) es un número de tres dígitos, determina todos los posibles valores de \(N\).