Olimpiada Regional del Sureste 2020

Virtual.

Primer día

9 de octubre de 2020.

Problema 1

Encuentra todos los números naturales \(n\), tales que 3 divide al número \(n\cdot 2^n+1\).

Problema 2

Sea \(ABC\) un triángulo con \(AB < AC\) y sea \(I\) su incentro. Llamemos \(\Gamma\) a la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo \(BIC\). La recta \(AI\) intersecta de nuevo a \(\Gamma\) en \(P\). Sea \(Q\) un punto en el segmento \(AC\) tal que \(AB=AQ\) y sea \(R\) un punto sobre la recta \(AB\) con \(B\) entre \(A\) y \(R\) tal que \(AR=AC\). Demuestra que los cuatro vértices del cuadrilátero \(IQPR\) están sobre una misma circunferencia.

Nota: El incentro de un triángulo es la intersección de las tres bisectrices de los ángulos internos del triángulo.

Problema 3

La tribu de los Bokos tiene 2021 cofres cerrados, los cuales se sabe que contienen cada uno una cierta cantidad de rupias y una cierta cantidad de diamantes. Como Link les ayudó van a hacer un trato, el cual consiste en que Link se quedará con una cantidad de cofres y los Bokos con el resto. Antes de abrir los cofres, Link debe decir con cuántos cofres se quedará. Después de esto los cofres se abren y Link escogerá los cofres que quiera en la cantidad acordada. Como Link no quiere enojar a los Bokos quiere decir el menor número posible de cofres que se quedará, pero garantizando que se pueda quedar con al menos la mitad del total de diamantes y con al menos la mitad del total de rupias. ¿Qué número debe decir Link?

Olimpiada Regional del Sureste 2020

Virtual.

Segundo día

11 de octubre de 2020.

Problema 4

Considera una cruz como la que se muestra en la figura pero de tamaño 2021. En cada casilla se coloca un \(+1\). Cada minuto se elige una subcruz de tamaño 3 y se multiplican todas sus casillas por \(−1\). ¿Es posible lograr que todas las casillas de la figura de tamaño 2021 tengan \(−1\)?

Problema 5

Sea \(ABC\) un triángulo acutángulo con \(\angle BAC \ge 60^\circ\) y con circuncírculo \(\Gamma\). Las tangentes a \(\Gamma\) por \(B\) y \(C\) se intersectan en \(P\), sea \(\Omega\) el circuncírculo del triángulo \(BPC\). La bisectriz del \(\angle BAC\) corta de nuevo a \(\Gamma\) en \(E\) y a \(\Omega\) en \(D\) de manera que \(E\) está entre \(A\) y \(D\). Demuestra que \(\frac{AE}{ED}\le 2\) y determina cuándo se da la igualdad.

Nota: El circuncírculo de un triángulo es aquel que pasa por los tres vértices del triángulo.

Problema 6

Muestra que, para cualesquiera \(a\), \(b\) y \(x_0\) enteros positivos, en la lista de números \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \(\cdots\) definida por

hay un número compuesto, es decir, \(x_i\) es compuesto para algún \(i\ge 1\).