Olimpiada Regional del Sureste 2019

Primer día

11 de octubre de 2019.

Problema 1

Encuentra el múltiplo más pequeño de 2019 que sea de la forma \(abcabc\dots abc\), donde \(a\), \(b\) y \(c\) son dígitos.

Problema 2

Sea \(ABCD\) un cuadrilátero convexo. Supongamos que la circunferencia con centro en \(B\) y radio \(BC\) es tangente a \(AD\) en \(F\) y que la circunferencia con centro en \(A\) y radio \(AD\) es tangente a \(BC\) en \(E\). Demuestra que \(DE\) y \(CF\) son perpendiculares.

Nota: Un cuadrilátero convexo es aquel cuyos ángulos interiores miden menos de \(180^\circ\).

Problema 3

Ocho equipos están compitiendo en un torneo de todos contra todos, es decir, en cada par de equipos juegan exactamente una vez entre ellos. No hay empates y los dos resultados posibles de cada juego son igualmente probables. ¿Cuál es la probabilidad de que al final del torneo cada equipo haya perdido al menos un juego y haya ganado al menos un juego?

Olimpiada Regional del Sureste 2019

Segundo día

12 de octubre de 2019.

Problema 4

Sea \(\Gamma\) una circunferencia, \(T\) un punto sobre \(\Gamma\), \(P\) y \(A\) dos puntos afuera de \(\Gamma\) tales que \(PT\) es tangente a \(\Gamma\) y \(PA=PT\). Sea \(C\) un punto cualquiera sobre \(\Gamma\), distinto de \(T\), las rectas \(AC\) y \(PC\) cortan de nuevo a \(\Gamma\) en \(D\) y \(B\), respectivamente. La recta \(AB\) corta a \(\Gamma\) en \(E\). Prueba que \(DE\) es paralela a \(AP\).

Problema 5

Sean \(n\) un número natural y \(A=\{1,2,3,\dots,\) \(2^{n+1}-1\}\). Demuestra que si se escogen \(2n+1\) elementos distintos del conjunto \(A\), entonces entre ellos hay tres números distintos \(a\), \(b\) y \(c\) tales que

Problema 6

Sean \(p\ge 3\) un número primo, \(a\) y \(b\) enteros coprimos. Sea \(n\) un número natural tal que \(p\) divide a \(a^{2^n}+b^{2^n}\), prueba que \(2^{n+1}\) divide a \(p-1\).

Nota: Dos enteros son coprimos si su máximo común divisor es 1.