Olimpiada Regional del Sureste 2018

Villahermosa, Tabasco.

Primer día

5 de octubre de 2018.

Problema 1

Lalo y Sergio juegan en un polígono regular de \(n\ge 4\) lados. En su turno, Lalo pinta una diagonal o lado de color rosa, y en su turno Sergio pinta una diagonal o lado de color naranja. Gana el juego el primero que logre pintar los tres lados de un triángulo de su color, si ninguno de los jugadores puede ganar, el juego se declara empate. Lalo empieza a jugar. Determina todas los números naturales \(n\) para los cuales uno de los jugadores tiene estrategia ganadora.

Problema 2

Sea \(n=\dfrac{2^{2018}-1}{3}\). Demuestra que \(n\) divide a \(2^n-2\).

Problema 3

Sean \(ABC\) un triángulo, \(\Gamma\) su circuncírculo y \(R\) un punto dentro del triángulo \(ABC\) tal que \(\angle ABR=\angle RBC\). Sean \(\Gamma_1\) y \(\Gamma_2\) los circuncírculos de los triángulos \(ARB\) y \(CRB\), respectivamente. La paralela a \(AC\) que pasa por \(R\), intersecta a \(\Gamma\) en \(D\) y \(E\), con \(D\) del mismo lado de \(BR\) que \(A\) y \(E\) del mismo lado de \(BR\) que \(C\). La recta \(AD\) intersecta a \(\Gamma_1\) en \(P\) y la recta \(CE\) intersecta a \(\Gamma_2\) en \(Q\). Demuestra que \(APQC\) es cíclico sí y sólo sí \(AB=BC\).

Nota: El circuncírculo de un triángulo es el círculo que pasa por los tres vértices del triángulo.

Olimpiada Regional del Sureste 2018

Villahermosa, Tabasco.

Segundo día

6 de octubre de 2018.

Problema 4

Para un número natural \(n\) sea \(a_n=20\ldots018\), donde hay \(n\) ceros, por ejemplo, \(a_1=2018\), \(a_3=200018\), \(a_7=2000000018\). Demuestra que existe una infinidad de valores de \(n\) tales que 2018 divida a \(a_n\).

Problema 5

Sean \(ABC\) un triángulo isósceles con \(CA=CB\) y \(\Gamma\) su circuncírculo. La perpendicular a \(CB\) por \(B\) intersecta a \(\Gamma\) en los puntos \(B\) y \(E\). La paralela a \(BC\) por \(A\) intersecta a \(\Gamma\) en los puntos \(A\) y \(D\). Sean \(F\) el punto de intersección de \(ED\) y \(BC\), \(I\) el punto de intersección de \(BD\) y \(EC\), \(\Omega\) el circuncírculo del triángulo \(ADI\) y \(\Phi\) el circuncírculo de \(BEF\). Si \(O\) y \(P\) son los centros de \(\Gamma\) y \(\Phi\), respectivamente, prueba que la recta \(OP\) es tangente a \(\Omega\).

Problema 6

Encuentra todos los polinomios \(p(x)\) tales que para todos \(a\), \(b\) y \(c\) reales, con \(a+b+c=0\), se tiene que