Olimpiada Regional del Sureste 2017

Primer día

Problema 1

Sean \(ABC\) un triángulo y \(\mathcal{C}\) su circuncírculo. Sea \(D\) un punto de \(\mathcal{C}\) en el arco \(BC\) que no contiene a \(A\), diferente de \(B\) y \(C\) de tal manera que \(CD\) y \(AB\) no son paralelas. Sean \(E\) la intersección de \(CD\) con \(AB\) y \(O\) el circuncentro del triángulo \(DBE\). Demuestra que la medida del ángulo \(\angle OBE\) no depende de la elección de \(D\)).

Problema 2

En la liga local de fútbol de Cancún participan 30 equipos. Para este torneo se quiere dividir a los 30 equipos en dos grupos de manera que:

1. Cada equipo juegue exactamente 82 partidos.

2. El número de partidos entre equipos de diferentes grupos es igual a la mitad de partidos jugados en total.

¿Es posible realizar esto?

Problema 3

Sea \(p\) un primo de la forma \(3k+2\) tal que \(a^2+ab+b^2\) es divisible por \(p\) para algunos enteros \(a\) y \(b\). Demuestre que \(a\) y \(b\) son ambos divisibles por \(p\).

Olimpiada Regional del Sureste 2017

Segundo día

Problema 4

Encuentra todas las parejas de enteros positivos \(m\) y \(n\) tales que:

Problema 5

Considera un triángulo acutángulo \(ABC\) con circuncentro \(O\). Una circunferencia que pasa por \(B\) y \(O\) intersecta a los lados \(BC\) y \(AB\) en los puntos \(P\) y \(Q\), respectivamente. Demuestra que el ortocentro del triángulo \(OPQ\) está sobre \(AC\).

Problema 6

Considera \(f_1=1\), \(f_2=1\), y \(f_{n+1}=f_n+f_{n-1}\) para \(n\ge 2\). Determina si existe \(n\le 1000001\) tal que los últimos tres dígitos de \(f_n\) son cero.