Olimpiada Regional del Sureste 2016

Primer día

Problema 1

Sobre una circunferencia hay 99 números naturales. Si \(a\) y \(b\) son dos números consecutivos en el círculo, entonces deben cumplir una de las siguientes condiciones: \(a−b=1\), \(a−b=2\) o \(\frac{a}{b}=2\). Demuestra que en la circunferencia existe un número que es múltiplo de 3.

Problema 2

Sean \(ABCD\) un trapecio con \(AB\) paralela a \(CD\), \(Ω\) el circuncírculo de \(ABCD\) y \(A_1\), \(B_1\) puntos sobre los segmentos \(AC\) y \(BC\) respectivamente, tales que \(DA_1B_1C\) es un cuadrilátero cíclico. Sean \(A_2\) y \(B_2\) los puntos simétricos de \(A_1\) y \(B_1\) respecto al punto medio de \(AC\) y \(BC\), respectivamente. Demuestra que los puntos \(A\), \(B\), \(A_2\), \(B_2\) son concíclicos.

Problema 3

Sea \(n>1\) un entero. Encuentra todos los polinomios reales \(\mathcal{P}(x)\) tales que para todo número real \(x\),

\[\mathcal{P}(x)\mathcal{P}(x^2)\mathcal{P}(x^3)\cdots\mathcal{P}(x^n)=\mathcal{P}(x^{\frac{n(n+1)}{2}})\]

Olimpiada Regional del Sureste 2016

Segundo día

Problema 4

Las diagonales de un cuadrilátero convexo \(ABCD\) se intersectan en el punto \(E\). Sean \(S_1\), \(S_2\), \(S_3\) y \(S_4\) las áreas de los triángulos \(AEB\), \(BEC\), \(CED\) y \(DEA\) respectivamente. Demuestre que si existen números reales \(w\), \(x\), \(y\) y \(z\) tales que

\[S_1=x+y+xy,\;S_2=y+z+yz,\;S_3=w+z+wz\;\;\text{y}\;\;S_4=w+x+wx,\]

entonces \(E\) es el punto medio de \(AC\) o \(E\) es el punto medio de \(BD\).

Problema 5

Martín y Chayo tienen una bolsa con 2016 chocolates cada uno. Cada uno vacía su bolsa sobre una mesa haciendo un montón de chocolates. Deciden hacer una competencia para ver quién se queda con todos los chocolates, de la siguiente manera: Un movimiento consiste en que un jugador toma dos chocolates de su montón, guarda un chocolate en su bolsa y el otro chocolate lo pone en el montón del otro jugador; en su turno el jugador debe realizar al menos un movimiento y lo puede repetir tantas veces lo desee antes de pasar el turno.Pierde el primer jugador que no pueda realizar al menos un movimiento en su turno. Si Martín inicia el juego, ¿quién de los dos puede asegurar que gana y se queda con todos los chocolates?

Problema 6

Sea \(M\) el punto medio del lado \(AC\) de un triángulo acutángulo \(ABC\) con \(AB>BC\). Sea \(\Omega\) el circuncírculo de \(ABC\). Las tangentes a \(\Omega\) en los puntos \(A\) y \(C\) se intersectan en \(P\) y \(BP\) intersecta a \(AC\) en \(S\). Sean \(AD\) la altura del triángulo \(ABP\) con \(D\) en \(BP\) y \(\omega\) el circuncírculo del triángulo \(CSD\). Si \(\omega\) y \(\Omega\) se intersectan en los puntos \(K\) y \(C\) con \(K\ne C\), demuestra que \(\angle CKM= 90^\circ\).