Olimpiada Regional del Sureste 2015

Primer día

Problema 1

Encuentra todos los enteros \(n>1\) tales que cada primo que divide a \(n^6-1\) también divide a \(n^5-n^3-n^2+1\).

Problema 2

En el triángulo acutángulo \(ABC\) se tiene que \(\angle B >\angle C\). Sea \(D\) el pie de la altura desde el vértice \(A\) sobre el lado \(BC\) y \(E\) el pie de la perpendicular bajada desde \(D\) a la reta \(AC\). Considera un punto \(F\) en el segmento \(DE\). Prueba que las rectas \(AF\) y \(BF\) son perpendiculares sí y sólo sí \(EF\cdot DC=BD\cdot DE\).

Problema 3

Si \(T(n)\) es el número de triángulos de lados enteros (no congruentes entre sí) cuyo perímetro es igual a \(n\), demuestra que:

\[\begin{align*} T(2012)&<T(2015)\\ T(2013)&=T(2016) \end{align*}\]

Olimpiada Regional del Sureste 2015

Segundo día

Problema 4

Sea \(A=\{1,2,4,5,7,8,\dots\}\) el conjunto de números naturales no divisibles por 3. Determina los posibles valores de \(n\) tales que existan \(2n\) elementos consecutivos de \(A\) que sumen \(300\).

Problema 5

En el triángulo \(ABC\), sean \(AM\) y \(CN\) bisectrices internas, con \(M\) en \(BC\) y \(N\) en \(AB\). Demuestra que si

\[\frac{\angle BNM}{\angle MNC}=\frac{\angle BMN}{\angle NMA}\]

entonces el triángulo \(ABC\) es isósceles.

Problema 6

Si separas a los números \(1,2,3,4,\dots\) \(,100\) en dos listas ordenadas

\[a_1<a_2<\cdots<a_{50}\;\;\text{y}\;\;b_1>b_2>\cdots>b_{50},\]

demuestra que, sin importar cómo haces la separación,

\[\left|a_1-b_1\right|+\left|a_2-b_2\right|+\cdots+\left|a_{50}-b_{50}\right|=2500\]