Olimpiada Regional de Occidente 2020

Guanajuato, Guanajuato.

Primer día

18 de septiembre de 2020

Problema 1

En la siguiente figura, se desea ir desde el punto \( A \) hacia el punto \( B \) caminando solamente por las líneas de la figura hacia arriba y hacia la derecha. ¿Cuántos caminos distintos podemos tomar?

Problema 2

Sean \( L \), \( M \) y \( N \) los puntos medios sobre los lados \( BC \), \( AC \) y \( AB\) de un triángulo \( ABC \). Sobre la circunferencia circunscrita al triángulo \( LMN \) se toman puntos \( D \), \( E \) y \( F \) de forma que los segmentos \( LD \), \( ME \) y \( NF \) son diámetros de dicha circunferencia. Prueba que el área del hexágono \( LENDMF \) es igual a la mitad del área del triángulo \( ABC \).

Problema 3

Prueba que para cada número natural \( n>2 \) existe un número entero \( k \) que puede ser escrito como suma de \( i \) cuadrados perfectos positivos, para cada \( i \) entre \( 2 \) y \( n \).

Olimpiada Regional de Occidente 2020

Guanajuato, Guanajuato.

Segundo día

19 de septiembre de 2020

Problema 4

Dado un número entero positivo \( n \), denotamos por \( P(n) \) el resultado de multiplicar todos los dígitos de \( n \). Encuentra un número \( m \) con diez dígitos, ninguno de ellos cero, con la siguiente propiedad:

\[P\left(m+P(m)\right)=P(m)\]

Problema 5

Determina los valores que puede tomar \(n\) para que la ecuación en \( x \)

\[x^4-(3n+2)x^2+n^2=0\]

tenga cuatro raíces reales distintas \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) y \(x_4\) en progresión aritmética. Es decir, cumplen que \(x_4-x_3=\) \(x_3-x_2=\) \(x_2-x_1\)

Problema 6

Sea \( M \) el punto medio del lado \( BC \) de un triángulo escaleno \( ABC \). La circunferencia que pasa por \( A \), \( B \) y \( M \) corta nuevamente al lado \( AC \) en \( D \). La circunferencia que pasa por \( A \), \( C \) y \( M \) corta nuevamente al lado \( AB \) en \( E \). Sea \( O \) el circuncentro del triángulo \( ADE \). Prueba que \( OB=OC \).