Olimpiada Regional del Noreste 2020

Virtual.

31 de octubre de 2020.

Problema 1

Sea \(a_1=2020\) y sea \(a_{n+1}=\sqrt{2020+a_n}\) para \(n\ge 1\). ¿Cuánto vale \(\left\lfloor a_{2020}\right\rfloor\)?

Nota: \(\lfloor x\rfloor\) denota la parte entera de un número, es decir, el entero inmediato menor a \(x\). Por ejemplo, \(\lfloor 2.71\rfloor=2\) y \(\lfloor \pi\rfloor=3\).

Problema 2

Sean \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\) puntos sobre una misma circunferencia con \(\angle BCD=90^\circ\). Sean \(P\) y \(Q\) las proyecciones de \(A\) sobre \(BD\) y \(CD\), respectivamente. Demuestra que \(PQ\) corta al segmento \(AC\) en partes iguales.

Problema 3

Una permutación de los enteros \(2020, 2021,\ldots\) \(,2118, 2119\) es una lista \(a_1,a_2,a_3,\) \(\ldots,a_{100}\) en donde cada uno de los números aparece exactamente una vez. Para cada permutación definimos las sumas parciales

\[\begin{align*} s_1&=a_1\\ s_2=&\;a_1+a_2\\ s_3=a_1&+a_2+a_3\\ &\;\:\vdots\\ s_{100}=a_1+&\;a_2+\ldots+a_{100} \end{align*}\]

¿Cuántas de estas permutaciones cumplen que ninguno de los números \(s_1,\ldots,s_{100}\) es divisible por 3?

Problema 4

Sean \(n>1\) un entero y \(p\) un primo. Demuestra que si \(n|p-1\) y \(p|n^3-1\), entonces \(4p-3\) es un cuadrado perfecto.