Ideas de Combinatoria N+
Este es un bosquejo preliminar de las funciones del sitio. Las publicaciones pueden variar de apariencia, según más convenga. A continuación, una lista de problemas variados de combinatoria.
Combinatoria
Teoría de números
Problemas
Problema 1
El espía Reyes transmite códigos a su base, los cuales están formados por cuatro letras \( T \), tres letras \( W \) y cuatro letras \( G \). Por ejemplo, un código podría ser \( WGTTWGGWTGT \) o \( GTGGWWTWTTG \). Sin embargo, para despistar al enemigo, algunos códigos son verdaderos y otros son falsos.
El hacker Germán logra descifrar el sistema y descubre que si en un código aparece alguna letra \( T \) antes que alguna letra \( W \) (como por ejemplo, \( WGTGWGGTWTT \), en el cual la segunda letra \( T \) aparece antes que la tercera letra \( W \), entonces es un código falso, y en caso contrario cuando todas las letras \( W \) aparecen antes que todas las letras \( T \), es verdadero. ¿Cuántos códigos verdaderos hay?
Problema 2
¿De cuántas maneras podemos colocar a 6 personas en una mesa circular? Nota: Dos acomodos se consideran iguales si al girar la mesa coinciden.
Problema 3
Un conjuro mágico es seguro si utiliza todas las letras del antiguo hechizo Alohomora y las vocales y consonantes están intercaladas. ¿Cuántos conjuros seguros existen?
Problema 4
¿De cuántas maneras Fulanita puede compartir sus 24 manzanas con Sultanita y Perenganito si a cada uno le deben tocar al menos dos manzanas?
Problema 5
¿De cuántas maneras pueden acomodarse las letras de la palabra Combinatoria si las consonantes aparecen en orden alfabético?
Problema 6
En la sala de deportes de una escuela hay 4 balones de fútbol, 5 de baloncesto y 6 de voleibol, los cuales se guardan en tres depósitos. ¿De cuántas maneras se pueden colocar en los tres depósitos si debe haber un balón de cada tipo en cada depósito?
Problema 7
¿De cuántas maneras podemos colocar 8 torres en un tablero de ajedrez al que se le han quitado dos esquinas opuestas, si las torres no pueden atacarse entre sí?
Problema 8
La Señora de los anillos tiene 1 anillo de oro puro y 4 anillos con una piedra preciosa distinta en su mano izquierda. ¿De cuántas maneras puede cambiar de posición todos sus anillos de piedras preciosas sin quitarse el anillo de oro y sin colocar anillos en la mano derecha?
Problema 9
En cada casilla de un tablero de 7\( \times \)7 hay un caballo. ¿Es posible que simultáneamente cada caballo haga un movimiento permitido si no deben quedar dos caballos en una misma casilla?
Problema 10
En una mesa hay 122 fichas rojas, 49 azules, 101 blancas y 86 verdes. Se dispone además de una bolsa con 500 fichas de cada uno de los cuatro colores. Una operación consiste en tomar tres fichas de distinto color de la mesa, ponerlas en la bolsa y sacar de la bolsa tres fichas del otro color para colocarlas en la mesa. El procedimiento termina si en algún momento ya no hay fichas de tres colores distintos sobre la mesa. ¿Es posible realizar esta operación el suficiente número de veces para que todas las fichas queden de un mismo color?
Problema 11
Dos jugadores \( A \) y \( B \) juegan con un montón de fichas por turnos, de manera alternada. Los movimientos permitidos consisten en retirar entre 1 y 4 fichas. ¿Cuál de los dos jugadores tiene la estrategia ganadora?.
Problema 12
¿De cuántas maneras se puede elegir un conjunto de cinco enteros no negativos \( x_1,x_2,x_3,x_4 \) si \( x_1+x_2+x_3+x_4=100 \) y \( x_i\equiv{i}\pmod{5} \)?
Problema 13
En las casillas de una cuadrícula con 4 columnas y dos filas se escribió, en dos de las casillas ubicadas en esquinas opuestas, el número 1. En cada una de las casillas restantes se colocó un 0. Se va a aplicar la siguiente operación:
A dos casillas que compartan un lado se les puede sumar o restar la misma cantidad.
Aplicando esta operación las veces que se quiera, ¿es posible que todos los números en la cuadrícula sean iguales a 0?
Problema 14 CombinatoriaTeoría de números
Si \( a+b+c=7 \) y \( a \), \( b \) y \( c \) son enteros no negativos menores a 4, ¿cuántas ternas distintas de números \( (a,b,c) \) satisfacen estas condiciones?.
Problema 15
¿Cuántos subconjuntos del conjunto \( \{1,2,\dots,n\} \) no contienen dos números consecutivos?
Problema 16Principio de Casillas
Cada cuadrito de un tablero de 3\( \times \)7 es coloreado con alguno de dos colores (digamos blanco y negro). Muestre que en cualquier coloración siempre hay cuatro cuadritos del mismo color que son las esquinas de un rectángulo contenido en el tablero.
Problema 17Especial
En una secuencia de lanzamientos de monedas, se puede llevar un registro de las ocasiones en las que, durante dos lanzamientos consecutivos, salen dos águilas (\( AA \)), un águila seguida de un sol (\( AS \)), un sol seguido de un águila (\( SA \)) o dos soles (\( SS \)).
Por ejemplo. en la secuencia de 15 lanzamientos consecutivos \( SSSAASASSSAASSA \) se observa que hay dos \( AA \), tres \( AS \), cuatro \( SA \) y cinco \( SS \). ¿Cuántas secuencias diferentes de 15 lanzamientos contendrán exactamente dos \( AA \), tres \( AS \), cuatro \( SA \) y cinco \( SS \)?
Problema 18
Demuestra que $$ \binom{n}{0}^2+\binom{n}{1}^2+\cdots+\binom{n}{n}^2=\binom{2n}{n} $$
Problema 19
Demuestra que $$ 0\binom{n}{0}+1\binom{n}{1}+\cdots+n\binom{n}{n}=2^{n-1}\cdot n $$